Бранислав Босиљковић рођен је 23.11.1959. године у Земуну. Основне студије је завршио на Правном факултету Универзитета у Београду 20. новембра 1982. године, са општим успехом 8,50. Правосудни испит је положио 28. јануара 1986. године. Засновао је радни однос 1988. године, на радном месту стручног сарадника у Четвртом општинском суду у Београду.

За судију Четвртог општинског суда у Београду изабран је 29. октобра 1992. године. Судијску дужност обављао је у ванпарничном и парничном одељењу, при чему је од децембра 1998. године до краја 2001. године био председник ванпарничног и оставинског одељења.

Бранислав Босиљковић је 11. јануара 2002. године изабран за судију Окружног суда у Београду, где је распоређен као судија другостепеног грађанског одељења Окружног суда у Београду. Од марта 2005. године обављао је и послове руководиоца судске праксе грађанског одељења, као и главног и одговорног уредника Билтена Окружног суда у Београду.

Од 1. јануара 2010. године Бранислав Босиљковић је судија Апелационог суда у Београду, где је као судија другостепеног грађанског одељења распоређен на радно место руководиоца судске праксе. Од јуна 2014. године био је заменик председника Одељења за заштиту права на суђење у разумном року и руководилац судске праксе тог одељења. Од јула 2015. године до 20. фебруара 2017. године био је и председник наведеног одељења. Такође, био је и члан редакцијског одбора Билтена Апелационог суда у Београду.

Решењем Високог савета судства упућен је на рад у Врховни касациони суд од 20. фебруара 2017. године.

На функцији судије Врховног касационог суда је од 16. новембра 2017. године.

Судија је у грађанској материји.